Permutasi dan Kombinasi

Permutasi dan kombinasi adalah dua cara berbeda untuk menyusun suatu himpunan. Tidak jarang siswa bingung dalam membedakan keduanya. Ketika urutan diperhatikan, itulah permutasi. Ketika urutan tidak diperhatikan, itulah kombinasi.

Mari kita pahami bersama apa perbedaan permutasi dan kombinasi dengan contoh berikut:

Terdapat suatu lomba dengan dua babak yaitu babak penyisihan dan babak final. Pada babak penyisihan dipilih 5 peserta terbaik yang akan melanjutkan ke babak final, pemilihan ini dapat disebut sebagai kombinasi, karena posisi ke-1, ke-2, ke-3, ke-4, dan ke-5 dari 5 peserta yang dipilih tidak diperhatikan. Selanjutnya pada babak final akan dipilih juara 1, juara 2, dan juara 3, pemilihan ini disebut sebagai permutasi, karena dari 3 peserta yang dipilih sebagai juara, posisi ke-1, ke-2, dan ke-3 dari 3 peserta yang dipilih diperhatikan.

Lalu bagaimana cara menghitung banyaknya susunan yang mungkin dari permutasi dan kombinasi pada contoh di atas? Yuk simak penjelasannya di bawah ini!

Pengertian Permutasi dan Kombinasi

Apa itu permutasi?

Permutasi adalah pengaturan sebagian atau seluruh himpunan dalam urutan tertentu (urutan elemen diperhatikan).

Terdapat dua macam permutasi:

1. Pengulangan dibolehkan: contohnya adalah kunci pin pada gawai/HP, angkanya bisa saja 2-4-4-9.

2. Pengulangan tidak dibolehkan: contohnya adalah tiga pembalap pertama yang melewati garis akhir, tidak mungkin satu pembalap menjadi juara 1 dan juara 2 secara bersamaan.

Apa itu kombinasi?

Kombinasi adalah proses pemilihan elemen dari himpunan, dimana urutan pemilihan elemen tidak diperhatikan.

Terdapat dua macam kombinasi:

1. Pengulangan dibolehkan: contohnya ketika mengambil 3 bola dari suatu wadah yang berisi 3 bola merah dan 3 bola biru, bisa saja terambil 2 bola merah dan 1 bola biru.

2. Pengulangan tidak dibolehkan: contohnya ketika sobat pintar memilih 2 orang dari kelompok beranggotakan 5 orang. Tidak mungkin orang pertama dan orang kedua adalah 1 orang yang sama.

Setelah tahu pengertian dari masing-masing permutasi dan kombinasi, apakah sudah tahu apa yang membedakan permutasi dan kombinasi? Untuk melihat lebih jelas perbedaannya yuk lanjut ke perbedaan permutasi dan kombinasi.
 

Perbedaan Permutasi dan Kombinasi

Perbedaan utama antara permutasi dan kombinasi adalah permutasi memperhatikan urutan elemen yang dipilih, sedangkan kombinasi tidak memperhatikan urutan elemen yang dipilih.

Agar lebih jelas tentang perbedaan antara permutasi dan kombinasi, bisa dilihat tabel contoh berikut.

Setelah mengetahui pengertian serta perbedaan dari permutasi dan kombinasi, yuk kita lanjutkan ke perhitungan matematika dari permutasi dan kombinasi.
 

Rumus Permutasi dan Kombinasi

Sebelum lanjut ke rumus permutasi dan kombinasi, masih ingatkah dengan faktorial?

dengan n bilangan bulat positif

Faktorial dilambangkan dengan ‘!’ adalah salah satu perhitungan dasar matematika yang berkaitan erat dengan permutasi dan kombinasi .

Kalau sudah ingat faktorial, mari kita lanjut ke rumus permutasi. Secara umum rumus permutasi adalah sebagai berikut.

Keterangan:
: banyaknya permutasi
n: banyaknya elemen himpunan keseluruhan
r: banyaknya elemen himpunan yang diamati

Selain rumus permutasi umum di atas, ada juga rumus permutasi siklik yang bisa digunakan untuk soal semacam contoh soal 3. Berikut rumus dari permutasi siklik.

Keterangan:
: banyaknya permutasi siklik
n: banyaknya elemen himpunan keseluruhan

Terakhir ada rumus permutasi dengan unsur yang sama, dimana rumus ini digunakan ketika terdapat elemen yang sama pada himpunan keseluruhan

Keterangan:
: banyaknya permutasi dengan adanya elemen yang sama
n: banyaknya elemen himpunan keseluruhan
a, b, c, …: banyaknya elemen yang sama pada himpunan

Selanjutnya adalah rumus kombinasi secara umum

Keterangan:
: banyaknya kombinasi
n: banyaknya elemen himpunan keseluruhan
r: banyaknya elemen himpunan yang diamati

Untuk memahami permutasi dan kombinasi bisa simak contoh soal yaa...!
 

Contoh Soal Permutasi dan Kombinasi

Untuk memahami perhatikan beberapa contoh soal permutasi dan kombinasi berikut!

Contoh soal 1

Dalam suatu kelompok terdapat 6 orang. Jika 2 orang diantaranya akan melakukan presentasi di depan kelas, berapa banyak susunan yang mungkin untuk memilih dua orang tersebut?

Pembahasan:

Karena dari 2 orang yang dipilih tidak memperhatikan urutan, maka soal ini dapat diselesaikan dengan rumus kombinasi, dengan n=6 dan r=2

 

 

 

 

 

 

Jadi, banyak susunan yang mungkin untuk memilih dua orang tersebut ada 15 susunan.

Contoh soal 2

Berapa banyak susunan yang mungkin terjadi pada kode pin 4 digit dengan angka yang tidak boleh berulang?

Pembahasan:

Angka yang mungkin untuk mengisi 1 digit kode pin adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Banyak angka ini akan menjadi banyaknya elemen keseluruhan atau n=10, sedangkan r=4 karena kode pin mengandung 4 digit angka. Pada kode pin urutan dalam memasukan angka perlu diperhatikan, artinya soal ini adalah permutasi.

 

 

 

 

 

Jadi, banyak susunan yang mungkin terjadi pada kode pin 4 digit dengan angka yang tidak boleh berulang adalah 151.200 susunan

Contoh soal 3

Jika ada 4 orang yang akan duduk mengelilingi meja bundar, maka berapa banyak posisi duduk yang mungkin untuk dilakukan?

Pembahasan:

Karena 4 orang ini akan duduk di meja bundar seperti pada gambar di atas, maka kita menggunakan rumus permutasi siklik dengan n=4

 

 

 

 

 

Jadi, banyak posisi duduk yang mungkin untuk dilakukan adalah 6 posisi.

Contoh soal 4

Jika panitia lomba ingin mengacak kata “AKUPINTAR”, maka berapa banyak susunan acak yang mungkin untuk disusun?

Pembahasan:

Pada himpunan keseluruhan terdapat elemen yang sama yaitu huruf ‘A’ yang berjumlah 2. Maka dari itu kita akan menggunakan rumus permutasi dengan unsur yang sama, dengan n=9 dan a=2

 

 

 

 

 

Jadi, banyaknya susunan acak yang mungkin untuk disusun oleh panitia ada 181.440 susunan.