Koordinat kartesius dan koordinat kutub

Maret 22, 2022

Letak suatu titik pada sistem koordinat kartesius ditentukan oleh jarak horizontal sumbu Xdan vertikal sumbu Ypada dua garis yang saling tegak lurus dan berpangkal pada O (0,0. ) Misalkan titik P(3,2 ) menyatakan letak titik P di 3 satuan ke kanan dan 2 satuan ke atas. Titik Q(2,−3)) menyatakan letak Q di 2 satuan ke kanan dan 3 satuan kebawah dan seterusnya. Untuk lebih jelasnya, kalian dapat melihat gambar berikut.

koordinat kartesius dan kutub

Letak titik juga dapat ditentukan dengan menggunakan koordinat kutub/polar yaitu titik P(r, α) dengan r adalah jarak titik tersebut dengan titik asal O 0,0 dan α adalah besar sudut yang dibentuk antara sumbu X positif dengan garis r.

Rumus koordinat kartesius dan koordinat kutub

Untuk menentukan rumus dari koordinat kartesius dan korrdinat kutub, ada dua ketentuan yang menjadi dasarnya yaitu:

Jika diketahui koordinat polar/kutub (r, α) maka koordinat kartesiusnya (x, y) adalah sebagai berikut:

$\begin{align*} x &=r.cos\alpha \\ &dan \\ y &= r.sin\alpha \end{align*}$

Jika diketahui koordinat kartesius (x, y) maka koordinat kutubnya (r, α) adalah sebagai berikut:

$\begin{align*} r &=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ &dan \\ tan\alpha &= \frac{y}{x} \end{align*}$

Contoh Soal 1

Nyatakan kedalam koordinat kartesius dari titik P(8, 150°)

Jawaban

Diketahui bahwa titik P(8, 150°), artinya r = 8 dan α = 150°

$\begin{align*} x &=r.cos\alpha \\ &= 8.cos150^{0}\\ &=8.cos(180-30)\rightarrow kuadran-2 \\ &=8.(cos30)\rightarrow cos(-) \\ &=8.\left ( -\frac{1}{2}\sqrt{3} \right )=-4\sqrt{3} \\ y&=r.sin\alpha \\ &=8.sin150^{0} \\ &= 8.sin\left ( 180-30 \right )\rightarrow kuadran-2\\ &= 8.sin30^{0}\rightarrow sin(+)\\ &= 8.\frac{1}{2}=4 \end{align*}$

Jadi, koordinat kartesiusnya adalah P(-4√3, 4)

Contoh Soal 2

Ubah kedalam koordinat kutub dari titik R (10√2, -10√2)B

Jawabn

Diketahui bahwa titik R (10√2, -10√2), artinya x = 10√2 dan y = -10√2

$\begin{align*} r &= \sqrt{x^{2}+y^{2}}\\ &= \sqrt{(10\sqrt{2})^{2}+(-10\sqrt{2})^{2}}\\ &=\sqrt{200+200} \\ &= \sqrt{400}=20\\ tan\alpha &= \frac{y}{x}\\ &= \frac{-10\sqrt{2}}{10\sqrt{2}}\\ &= -1\\ \alpha &= 315^{0}\\ \end{align*}$

Note :

Nilai tan α = -1 , maka α = 45, tetapi karena nilai x positif dan y negatif maka sudut α terletak pada kuadran 4. Rumus kuadran ke-4 sudah kalian pelajari pada pertemuan sebelumnya yaitu (360 - α), jadi nilai α adalah 360−45=315

Jadi koordinat kartesius dari soal tersebut adalah (20, 315°)

Contoh Soal 3

Sebuah kapal pesiar berlayar dari pelabuhan A menuju KOta B dengan arah 150°. Kecepatan kapal pesiar adalah 15 km/jam. Setelah bergerak selama 10 jam, tentukan:

a. jarak kapal pesiar dari pelabuhan

b. jarak kapal pesiar dari arah selatan dan timur pelabuhan.

Jawaban

Permasalahan tersebut dapat digambarkan sebagai berikut. Perhatikan segitiga DPB dari gambar, diperoleh bahwa sudut DPB = 150° - 90° = 60°

a. Jarak kapal pesiar dari pelabuhan adalah r = 15 x 10 = 150 km

b. Jarak kapal dari arah selatan (x) dan timur (y)

$\begin{align*} x &=r.cos\alpha \\ &=150.cos60^{0} \\ &=150.\frac{1}{2}=75 \\ y &= r.sin\alpha \\ &=150.sin60^{0} \\ &=150.\frac{1}{2}\sqrt{3}=75\sqrt{3} \end{align*}$

Jadi, jarak kapal dari arah selatan pelabuhan adalah x = 75 km dan jarak kapal dari arah timur pelabuhan adalah y = 75√3 km.

Cari Blog Ini

Matematikaku

Koordinat kartesius dan koordinat kutub

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Statistik

Kesebangunan dan Kekongruenan (soal dan pembahasan)

Sistem Persamaan Linear