MATRIKS

Pengertian Matriks

Matriks adalah susunan simbol, ekspresi, bilangan real, bilangan kompleks atau elemen-elemen yang tersusun dalam kolom dan baris sehingga membentuk suatu bangun persegi atau bisa juga berbentuk persegi panjang. 

Sebuah matriks diberi nama dengan huruf kapital, contohnya seperti matriks A, matriks B, matriks C, dan seterusnya. Sedangkan isi di dalam matriks atau anggotanya dinyatakan dengan huruf kecil seperti a, b, c, d, dan seterusnya. Nah, dalam matriks ini juga dikenal istilah ordo, yaitu banyaknya jumlah baris dan kolom dalam matriks. 

Anggota atau isi di dalam matriks juga bisa dinyatakan dengan huruf kecil yang memiliki indeks ganda seperti aif. Indeks pertama mengindikasikan baris horizontal tempat anggota tersebut berada, sedangkan indeks kedua mengindikasikan kolom vertikal tempat anggota matriks tersebut berada.  

Contohnya seperti a12 berarti anggota a berada di baris pertama dan di kolom kedua. Contoh lainnya b36 yang artinya anggota b berada di baris ketiga dan di kolom keenam.

Nah, bentuk atau notasi yang menyimbolkan matriks bisa dengan tanda kurung kecil ( ), tanda kurung siku [ ], atau bisa juga dengan dua garis tegak II II. Contohnya seperti :

Jenis-Jenis Matriks

Matriks memiliki banyak jenis dan bermacam macam. Ada yang terbagi berdasarkan ordo atau ukuran yang ditentukan dari seberapa banyak kolom atau baris dalam suatu matriks. Ada pula yang ditentukan dari pola anggota di dalam sebuah matriks. Kamu bisa mempelajari jenis-jenis matriks di bawah ini. 

1. Matriks Baris

Matriks ini hanya memiliki satu baris. Ordo dari matriks baris adalah 1 x n, dengan n melambangkan jumlah kolom. 

Contoh : 

2. Matriks Kolom

Matriks jenis ini hanya memiliki satu kolom saja. Matriks kolom memiliki ordo m x 1, dengan m adalah banyaknya jumlah baris dalam suatu matriks.

Contoh :

 

3. Matriks Persegi

Matriks ini dinamakan persegi karena memiliki jumlah kolom dan baris yang sama, sehingga matriks persegi memiliki ordo n x n.

Contoh : 

4. Matriks Persegi Panjang

Jenis matriks ini memiliki jumlah kolom dan baris yang berbeda, sehingga bentuk matriksnya seperti persegi panjang. Ordonya adalah m x n.

Contoh : 

5. Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks yang semua anggotanya bernilai 0 kecuali elemen diagonal utamanya saja yang bernilai selain 0. Jika masih bingung, kamu bisa melihat contoh di bawah ini. 

Contoh : 

Dalam matriks tersebut, semua elemennya bernilai 0 kecuali elemen 1, 2, dan 8 yang berpola diagonal.

6. Matriks Identitas

Matriks identitas ini memiliki anggota atau elemen yang semuanya 0 kecuali elemen diagonal yang memiliki nilai 1. Biasanya matriks identitas dinotasikan dengan I dan diikuti dengan ordonya.

Contoh :  

7. Matriks 0

Sesuai namanya, matriks 0 memiliki elemen yang semuanya bernilai 0. Matriks 0 dinotasikan dengan O yang diikuti dengan ordo.

Contoh : 

Transpose Matriks

Transpose matriks merupakan pertukaran posisi atau elemen matriks. Dari pertukaran posisi matriks ini, akan diperoleh barisan matriks yang baru.

Seperti penjelasan sebelumnya, matriks terdiri dari elemen kolom dan elemen baris. Nah, di transpose matriks kita akan menukar elemen baris menjadi elemen kolom dan menukar elemen kolom menjadi elemen baris.

Contoh : 

jika ditranspose maka akan berubah menjadi:

Dari contoh di atas, bisa dilihat bahwa elemen 3 dan 7 yang awalnya berada di baris 1 berubah menjadi berada di kolom 1. Sedangkan 7 dan 6 yang awalnya berada di kolom 2 berubah menjadi berada di baris 2.

Jika kamu masih bingung, coba cermati lagi satu contoh berikut.

jika ditranspose maka akan berubah menjadi:

Operasi pada matriks

Kesamaan 2 matriks

2 buah matriks dikatakan sama jika ordonya sama dan elemen yang seletak sama.

Contoh: ${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&3&5\\1&4&-7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&6x&z-y\\2y+2&4&-7\end{pmatrix}}}$

Tentukan nilai 2x-y+5z!

Jawab:

${\displaystyle 6x=3}$ maka ${\displaystyle x={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle 2y+2=1}$ maka ${\displaystyle y=-{\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle z-y=5}$ maka ${\displaystyle z={\frac {9}{2}}}$

${\displaystyle 2x-y+5z}$

${\displaystyle =2\left({\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{2}}+5\left({\frac {9}{2}}\right)}$

${\displaystyle =23}$

Penjumlahan matriks

2 matriks atau lebih bisa dijumlahkan jika ordonya sama dan penjumlahan dilakukan dengan cara menjumlahkan elemen yang seletak.

Contoh: ${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&3&5\\1&4&-7\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}2&6x&z-y\\2y+2&4&-7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&3+6x&5+z-y\\2y+3&8&-14\end{pmatrix}}}$

Pengurangan matriks

2 matriks bisa dikurangkan jika ordonya sama dan pengurangan dilakukan dengan cara mengurangkan dari elemen yang seletak.

Contoh: ${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&3&5\\1&4&-7\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2&6x&z-y\\2y+2&4&-7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&3-6x&5-z-y\\-2y-1&0&0\end{pmatrix}}}$

Perkalian bilangan dengan matriks

Contoh:

${\displaystyle 3{\begin{pmatrix}2&6x&z-y\\2y+2&4&-7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6&18x&3z-3y\\6y+6&12&-21\end{pmatrix}}}$

Perkalian matriks

2 Matriks dapat dikalikan jika jumlah baris matriks A = jumlah kolom matriks B.

Penghitungan perkalian matriks:

Misalkan:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$ dan ${\displaystyle B={\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}}}$

maka ${\displaystyle A\times B={\begin{pmatrix}ap+br&aq+bs\\cp+dr&cq+ds\end{pmatrix}}}$

Contoh:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&6\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}9&8\\2&10\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}30&76\\35&64\end{pmatrix}}}$

Determinan matriks

Matriks ordo 2x2

Misalkan:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

maka Determinan A (ditulis ${\displaystyle \left\vert A\right\vert }$ ) adalah:

${\displaystyle \left\vert A\right\vert =a\times d-b\times c}$

Matriks ordo 3x3

Cara Sarrus

Misalkan:

Jika ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}}$ maka tentukan ${\displaystyle \left\vert A\right\vert }$!

${\displaystyle \left\vert A\right\vert =\left\vert {\begin{matrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{matrix}}\right\vert {\begin{matrix}a&b\\d&e\\g&h\end{matrix}}}$

Penghitungan matriks dilakukan dengan cara menambahkan elemen dari kiri atas ke kanan bawah (mulai dari a → e → i, b → f → g, dan c → d → h) lalu dikurangi dengan elemen dari kanan atas ke kiri bawah (mulai dari c → e → g, a → f → h, dan b → d → i) sehingga menjadi:

${\displaystyle \left\vert A\right\vert =a.e.i+b.f.g+c.d.h-g.e.c-h.f.a-i.d.b}$

Contoh:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}-2&0&1\\3&2&-1\\1&-3&5\end{pmatrix}}}$ maka tentukan ${\displaystyle \left\vert A\right\vert }$!

${\displaystyle \left\vert A\right\vert =\left\vert {\begin{matrix}-2&0&1\\3&2&-1\\1&-3&5\end{matrix}}\right\vert {\begin{matrix}-2&0\\3&2\\1&-3\end{matrix}}}$

${\displaystyle \left\vert A\right\vert =(-2.2.5)+(0.-1.-1)+(1.3.-3)-(1.2.1)-(-2.-1.-3)-(0.3.5)=-20+0-9-2+6-0=-25}$

Cara ekspansi baris-kolom

Misalkan:

Jika ${\displaystyle P={\begin{pmatrix}-2&0&1\\3&2&-1\\1&-3&5\end{pmatrix}}}$ maka tentukan ${\displaystyle \left\vert P\right\vert }$ dengan ekspansi baris pertama!

${\displaystyle \left\vert P\right\vert =-2\left\vert {\begin{matrix}2&-1\\-3&5\end{matrix}}\right\vert -0\left\vert {\begin{matrix}3&-1\\1&5\end{matrix}}\right\vert +1\left\vert {\begin{matrix}3&2\\1&-3\end{matrix}}\right\vert }$

${\displaystyle \left\vert P\right\vert =-2(10-3)-0+1(-9-2)=-25}$

Matriks Singular

Matriks singular adalah matriks yang nilai determinannya 0.

Contoh:

${\displaystyle P={\begin{pmatrix}-4&5x\\-x&20\end{pmatrix}}}$

Jika A matriks singular, tentukan nilai x!

Jawab:

${\displaystyle -80+5x^{2}=0}$

${\displaystyle 5(x^{2}-16)=0}$

${\displaystyle x=-4}$ vs ${\displaystyle x=4}$

Invers matriks

Invers matriks 2x2

Misalkan:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

maka inversnya adalah:

${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\left\vert A\right\vert }}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}={\frac {1}{a.d-b.c}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}}$

Sifat-sifat invers matriks

${\displaystyle A.A^{-1}=I=A^{-1}.A}$

${\displaystyle (AB)^{-1}=B^{-1}.A^{-1}}$

${\displaystyle (A^{-1})^{-1}=A}$

${\displaystyle AI=A=IA}$

Persamaan matriks

Tentukan X matriks dari persamaan:

• Jika diketahui matriks A.X=B

${\displaystyle A.X=B}$

${\displaystyle A^{-1}.A.X=A^{-1}.B}$

${\displaystyle I.X=A^{-1}.B}$

${\displaystyle X=A^{-1}.B}$

• Jika diketahui matriks X.A=B

${\displaystyle X.A=B}$

${\displaystyle X.A.A^{-1}=B.A^{-1}}$

${\displaystyle X.I=B.A^{-1}}$

${\displaystyle X=B.A^{-1}}$