Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

 Hampir setiap hari kita menggunakan sistem persamaan linear tiga variabel ini. Namun kita tidak menyadarinya, untuk itu mari kita belajar lebih lanjut mengenai sistem persamaan tiga variabel.

Konsep Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Sistem persamaan linear tiga variabel ini sering sekali kamu gunakan dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya, kamu bersama 2 teman ke toko buku untuk membeli peralatan sekolah seperti buku tulis, pena dan pensil. Namun penjaga toko memberikan cek dengan total dari belanja kamu dan dua orang temanmu.

Tentu kamu ingin tahu berapa masing-masing harga dari barang yang kalian beli. Nah dengan menggunakan sistem persamaan tiga variabel ini kamu dengan mudah untuk mengetahuinya. Sistem persamaan linear tiga variabel adalah suatu sistem persamaan dengan tiga variabel.

Cara penyelesaian

• Pertama pahami soal dan pertanyaan, carilah variabel-variabel pada soal cerita.
• Kedua ubahlah variabel tersebut dalam persamaan linear tiga variabel.
• Ketiga temukan nilai variabel pada persamaan linear tiga variabel dengan substitusi atau eliminasi untuk menjawab pertanyaan.

Contoh Soal

1. Selesaikan sistem persamaan yang diketahi nilainya sebagai berikut !

x + 5y + 3z = 16

x – 2y + 9z = 8

2x + y – z = 7

Tentukan nilai dari x² + 2y – 5z?

Penyelesaian:

x + 5y + 3z = 16

x = 16 – 5y – 3z……….(1)

x – 2y + 9z = 8

x = 8 + 2y – 9z…………(2)

2x + y – z = 7

y = 7 – 2x + z…………..(3)

Persamaan (1) sama dengan (2)

16– 5y – 3z = 8 + 2y – 9z

8 = 7y – 6z……………(4)

Persamaan (2) disubstitusi ke persamaan (3)

y = 7 – 2x + z

y = 7 – 2(8 + 2y – 9z) + z

y = 7 -16 – 4y + 18z + z

y = -9 -4y + 19z

5y = -9 + 19z

y = (-9+19z)/5………….(5)

Persamaan (5) disubtitusi ke persamaan (4)

8 = 7y – 6z

8 = 7(-9+19z)/5 – 6z

40 = -63 + 133z -30z

103 = 103z

z = 1

Substitusi nilai z ke persamaan (5)

y = (-9+19z)/5

y = (-9 + 19[1])/5

y = 2

Substitusi nilai y dan z ke persamaan (1)

x = 16 – 5y – 3z

x = 16 – 5[2] – 3[1]

x = 3

Nilai x, y, dan z diinput ke pertanyaan :

x² + 2y – 5z = 3² + 2[2] – 5[1] = 8

Jadi nilai dari x² + 2y – 5z adalah 8.

2. Bu Riani membli beras 5 kg Grade A, 2 kg grade B, dan 3 kg grade C seharga Rp 132.000,-. Di hari yang sama Bu Irma membeli beras di toko yang sama untuk 7 kg beras Grade B dan 3 Grade C seharga Rp 127.000,-. Tetangga yang lain pun membeli beras di toko yang sama dengan Bu Riani dan Bu Irma dengan harga Rp 39.000,- untuk 3 kg beras Grade B. Berapakah harga beras Grade A per kilonya?

Penyelesaian:

Agar mudah untuk dihitung, hilangkan dahulu bilangan ribuannya.

5A + 2B + 3C = 142

7B + 3C = 137

3C = 39

C = 13………………………………(1)

7B + 3C = 137                             Subtitusi nilai 3C

7B + 39 = 137

7B = 98

B = 14………………………………(2)

5A + 2B + 3C = 142                    Subtitusi nilai 3C

5A + 2B + 39 = 142

5A + 2B = 103                             Subtitusi nilai B

5A + 2(14) = 103

5A = 75

A = 15……………………………..(3)

Jadi harga beras Grade A per kilo adalah Rp 15.000,-.

3. Bu Dewi memiliki tiga asisten rumah tangga yang bekerja bergantian setiap hari kecuali hari minggu mereka kerja bersamaan agar dapat pulang lebih awal. Aan dapat menyapu rumah bu Dewi yang luas dalam waktu 40 menit. Sementara Budi dapat menyapu seluruh rumah dalam waktu 50 menit. Jika pada hari minggu Aan, Busi dan Cecep dapat menyapu seluruh rumah dalam waktu 15 menit. Berapakah waktu yang dibutuhkan Cecep untuk menyapu seluruh rumah Bu Dewi sendirian?

Penyelesaian:

Aan = 40 menit, artinya Aan dapat menyapu 1/40 bagian dalam semenit.

Budi = 50 menit, artinya Budi dapat menyapu 1/50 bagian dalam semenit.

Cecep = ?

Aan + Budi + Cecep = 15 menit, artinya mereka bertiga dapat menyapu 1/15 bagian dalam semenit.

Berarti Cecep dapat menyapu

1/15 – (1/40) – (1/50) = (40 – 15 – 12)/600 = 13/600 bagian selama semenit.

t Cecep = 600/ 13 = 46, 15 menit

Jadi waktu yang dibutuhkan oleh cecep menyapu sendirian adalah 46,15 menit.

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dengan tiga variabel adalah suatu himpunan semua triple terurut (x, y, z) yang memenuhi setiap persamaan linear pada sistem persamaan tersebut (Sinaga dkk., 2017).

Bentuk umum persamaan linear dengan tiga variabel :

a₁x + b₁y + c₁z = d₁

a₂x + b₂y + c₂z = d₂

a₃x + b₃y + c₃z = d₃

a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, b₃, c₁, c₂, c₃, d₁, d₂, d₃, x, y, z adalah bilangan real

nilai dari a₁, b₁, c₁;  dan a₂, b₂, c₂; serta a₃, b₃, c₃ tidak ketiganya 0.

Cara penyelesaian

1. Metode Sarrus

• Pertama jumlahkan hasil perkalian bilangan-bilangan pada garis yang menanjak (kiri bawah ke kanan atas) dan hasilnya dikurangi dengan jumlah hasil perkalian bilangan-bilangan pada garis menurun (kiri atas ke kanan bawah).
• Kedua lakukan pada pembilang dan penyebut, hasil bagi dari pembilang dan penyebut adalah nilai dari x, y, z.

Contoh soal

1. Selesaikan sistem persamaan yang diketahi nilainya sebagai berikut !

x – 2y + 3z = 1

3x + y + 7z = 27

6x – y – z = 12

Tentukan nilai dari 4x² + 9y – 3z?

Penyelesaian:

2. Seorang penjahit membutuhkan 2 meter kain A, 1 meter kan B dan 3 kain C yang dibeli seharga Rp 106.000,- untuk membuat gorden model pertama.Sementara untuk membuat gaun dibutuhkan 2 meter kain B dan 2 meter C yang dibeli seharga Rp 64.000,- Penjahit itu membeli kain tambahan untuk pesanan tambahan yaitu 3 meter kain A, 2 Meter kain B seharga Rp 90.000,- Berapakah harga setiap meter kain A, B, dan C?

Penyelesaian:

Agar mudah untuk dihitung, hilangkan dahulu bilangan ribuannya.

2A + B + 3C = 106

0A + 2B + 2C = 64

3A + 2B + 0C = 90

3. Pak Beni memiliki taanah seluas 900 m² yang digunakan sebagai kandang Ayam, kandang sapi dan kebun. Jika luas kandang ayam sama dengan dua kali dari kandang sapi, dan luas kebun adalah tiga kali dari kandang ayam. Berapakah luas dari masing-masing kandang  ayam, kandang sapi dan kebun?

Penyelesaian:

A + S + K = 900

A = 2S

K = 3 A

Kita ubah sesuai dengan bentuk umum persamaan linear.

A + S + K = 900

A – 2S + 0 = 0

-3A + 0S + K = 0

2. Metode Substitusi

Metode substitusi adalah metode penyelesaian sistem persamaan linear dengan cara menyubstitusikan nilai salah satu variabel dari satu persamaan ke persamaan lain. Metode ini dilakukan sampai diperoleh semua nilai variabel dalam sistem persamaan linear tiga variabel.

Metode substitusi lebih mudah digunakan pada SPLTV yang memuat persamaan berkoefisien 0 atau 1. Berikut adalah langkah-langkah penyelesaian dengan metode substitusi.

1. Tentukan persamaan yang memiliki bentuk sederhana. Persamaan dengan bentuk sederhana memiliki koefisien 1 atau 0.
2. Nyatakan salah satu variabel dalam bentuk dua variabel lain. Contohnya, variabel x dinyatakan dalam variabel y atau z.
3. Substitusikan nilai variabel yang diperoleh pada langkah kedua ke persamaan lain yang ada di SPLTV, sehingga diperoleh sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV).
4. Tentukan penyelesaian SPLDV yang diperoleh pada langkah ketiga.
5. Tentukan nilai semua variabel yang belum diketahui.

Coba kita lakukan contoh soal berikut. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel di bawah ini.

x + y + z = -6 … (1)

x – 2y + z = 3 … (2)

-2x + y + z = 9 … (3)

Pertama, kita dapat mengubah persamaan (1) menjadi, z = -x – y – 6 menjadi persamaan (4). Kemudian, kita dapat menyubstitusikan persamaan (4) ke persamaan (2) sebagai berikut.

x – 2y + z = 3

x – 2y + (-x – y – 6) = 3

x – 2y – x – y – 6 = 3

-3y = 9

y = -3

Setelah itu, kita dapat menyubstitusikan persamaan (4) ke persamaan (3) sebagai berikut.

-2x + y + (-x – y – 6) = 9

-2x + y – x – y – 6 = 9

-3x = 15

x = -5

Kita sudah mendapatkan nilai x = -5 dan y = -3. Kita dapat memasukkannya ke persamaan (4) untuk memperoleh nilai z sebagai berikut.

z = -x – y – 6

z = -(-5) – (-3) – 6

z = 5 + 3 – 6

z = 2

Jadi, kita mendapat himpunan penyelesaian (x, y, z) = (-5, -3, 2)

3. Metode Eliminasi

Metode eliminasi adalah metode penyelesaian sistem persamaan linear dengan cara menghilangkan salah satu variabel pada dua buah persamaan. Metode ini dilakukan sampai tersisa satu buah variabel.

Metode eliminasi dapat digunakan pada semua sistem persamaan linear tiga variabel. Tapi metode ini memerlukan langkah yang panjang karena tiap langkah hanya dapat menghilangkan satu variabel. Diperlukan minimal 3 kali metode eliminasi untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLTV. Metode ini lebih mudah jika digabung dengan metode substitusi.

Langkah-langkah penyelesaian menggunakan metode eliminasi adalah sebagai berikut.

1. Amati ketiga persamaan pada SPLTV. Jika ada dua persamaan yang nilai koefisiennya sama pada variabel yang sama, kurangkan atau jumlahkan kedua persamaan agar variabel tersebut berkoefisien 0.
2. Jika tidak ada variabel berkoefisien sama, kalikan kedua persamaan dengan bilangan yang membuat koefisien suatu variabel pada kedua persamaan sama. Kurangkan atau jumlahkan kedua persamaan agar variabel tersebut berkoefisien 0.
3. Ulangi langkah 2 untuk pasangan persamaan lain. Variabel yang dihilangkan pada langkah ini harus sama dengan variabel yang dihilangkan pada langkah 2.
4. Setelah diperoleh dua persamaan baru pada langkah sebelumnya, tentukan himpunan penyelesaian kedua persamaan menggunakan metode penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV).
5. Substitusikan nilai dua variabel yang diperoleh pada langkah ke-4 pada salah satu persamaan SPLTV sehingga diperoleh nilai variabel ketiga.

Kita akan coba menggunakan metode eliminasi pada soal berikut. Tentukan himpunan penyelesaian SPLTV-nya!

2x + 3y – z = 20 … (1)

3x + 2y + z = 20 … (2)

X + 4y + 2z = 15 … (3)

SPLTV dapat ditentukan himpunan penyelesaiannya dengan mengeliminasi variabel z. Pertama, jumlahkan persamaan (1) dan (2) sehingga diperoleh:

2x + 3y – z = 20

3x + 2y + z = 20 +

5x + 5y       = 40

x + y           = 8 … (4)

Kemudian, kalikan 2 pada persamaan (2) dan kalikan 1 pada persamaan (1) sehingga diperoleh:

3x + 2y + z = 20  |x2         6x + 4y + 2z = 40

x + 4y + 2z = 15  |x1         x + 4y + 2z = 15 –

5x              = 25

x                = 5

Setelah mengetahui nilai x, substitusikan ke persamaan (4) sebagai berikut.

x + y = 8

5 + y = 8

y = 3

Substitusikan nilai x dan y pada persamaan (2) sebagai berikut.

3x + 2y + z = 20

3(5) + 2 (3) + z = 20

15 + 6 + z = 20

z = -1

Sehingga diperoleh himpunan penyelesaian SPLTV (x, y, z) adalah (5, 3, -1).

4. Metode gabungan ( eliminasi dan substitusi )

menentukan himpunan penyelesaian (HP) sistem persamaan linear 3 variabel dengan menggunakan metode gabungan. Lalu tahukah kalian apa itu metode campuran atau gabungan ini? Jika belum tahu, berikut ini penjelasannya.

Penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan metode gabungan/campuran merupakan cara penyelesaian dengan menggabungkan dua metode sekaligus, yakni metode eliminasi dan metode subtitusi. Metode ini bisa dikerjakan dengan subtitusi terlebih dahulu atau dengan eliminasi terlebih dahulu.

Pada kesempatan kali ini, kta akan mencoba metode gabungan/campuran dengan 2 teknik yaitu:

● Mengeliminasi terlebih dahulu baru kemudian menggunakan metode subtitusi.

● Mensubtitusi terlebih dahulu baru kemudian menggunakan metode eliminasi

Prosesnya hampir sama seperti penyelesaian SPLTV dengan metode eliminasi dan metode subtitusi. Supaya lebih jelas, langsung saja kita menuju contoh soal dan pembahasannya berikut ini. Silahkan simak baik-baik dan selamat belajar.

Contoh Soal 1

Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel di bawah ini dengan menggunakan metode campuran.

x – y + 2z = 4

2x + 2y – z = 2

3x + y + 2z = 8

Jawab:

■ Metode Eliminasi (SPLTV)

Langkah pertama, kita tentukan variabel mana yang akan kita eliminasi terlebih dahulu. Untuk mempermudah, lihat variabel yang paling sederhana. Dari ketiga SPLTV di atas, variabel yang paling sederhana adalah y sehingga kita akan mengeliminasi y dulu. Untuk menghilangkan peubah y, maka kita harus menyamakan koefisien masing-masing y dari ketiga persamaan. Perhatikan penjelasan berikut.

x – y + 2z = 4 → koefisien y = –1

2x + 2y – z = 2 → koefisien y = 2

3x + y + 2z = 8 → koefisien y = 1

Agar ketiga koefisien y sama, maka kita kalikan persamaan pertama dan persamaan ketiga dengan 2 sedangkan persamaan kedua kita kalikan 1. Prosesnya adalah sebagai berikut :

x – y + 2z	=	4	|× 2|	→	2x – 2y + 4z	=	8
2x + 2y – z	=	2	|× 1|	→	2x + 2y – z	=	2
3x + y + 2z	=	8	|× 2|	→	6x + 2y + 4z	=	16

Setelah koefisien y ketiga persamaan sudah sama, maka langsung saja kita kurangkan atau jumlahkan persamaan pertama dengan persamaan kedua dan persamaan kedua dengan persamaan ketiga sedemikian rupa hingga variabel y hilang. Prosesnya seperti di bawah ini.

● Dari persamaan pertama dan kedua:

2x – 2y + 4z	=	8
2x + 2y – z	=	2	+
4x + 3z	=	10

● Dari persamaan kedua dan ketiga:

2x + 2y – z	=	2
6x + 2y + 4z	=	16	−
−4x − 5z	=	−14
4x + 5z	=	14

Dengan demikian, kita peroleh SPLDV sebagai berikut.

4x + 3z = 10

4x + 5z = 14

■ Metode Subtitusi (SPLDV)

Dari SPLDV pertama kita peroleh persamaan x sebagai berikut.

⇒ 4x + 3z = 10

⇒ 4x = 10 – 3z

Lalu kita subtitusikan persamaan y tersebut ke SPLDV kedua sebagai berikut.

⇒ 4x + 5z = 14

⇒ (10 – 3z) + 5z = 14

⇒ 10 + 2z = 14

⇒ 2z = 14 – 10

⇒ 2z = 4

⇒ z = 2

Kemudian, untuk menentukan nilai x, kita subtitusikan nilai z = 2 ke dalam salah satu SPLDV, misalnya persamaan 4x + 3z sehingga kita peroleh:

⇒ 4x + 3(2) = 10

⇒ 4x + 6 = 10

⇒ 4x = 10 – 6

⇒ 4x = 4

⇒ x =1

Langkah terakhir, untuk menentukan nilai y, kita subtitusikan nilai x = 1 dan z = 2 ke dalam salah satu SPLTV di atas, misalnya persamaan x – y + 2z = 4 sehingga kita peroleh:

⇒ x – y + 2z = 4

⇒ (1) – y + 2(2) = 4

⇒ 1 – y + 4 = 4

⇒ 5 – y = 4

⇒ y = 5 – 4

⇒ y = 1

Dengan demikian kita peroleh nilai x = 1, y = 1 dan z = 2 sehingga himpunan penyelesaian SPLTV di atas adalah {(1, 1, 2)}.

Contoh Soal 2

Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel di bawah ini dengan menggunakan metode gabungan.

x + 3y + 2z = 16

2x + 4y – 2z = 12

x + y + 4z = 20

Jawab:

■ Metode Subtitusi (SPLTV)

Pertama, kita tentukan dulu persamaan yang paling sederhana. Dari ketiga persamaan yang ada, persamaan ketiga lebih sederhana. Dari persamaan ketiga, nyatakan variabel z sebagai fungsi y dan z sebagai berikut.

⇒ x + y + 4z = 20

⇒ x = 20 – y – 4z ............... Pers. (1)

Kemudian, subtitusikan persamaan (1) di atas ke dalam SPLTV pertama.

⇒ x + 3y + 2z = 16

⇒ (20 – y – 4z) + 3y + 2z = 16

⇒ 2y – 2z + 20 = 16

⇒ 2y – 2z = 16 – 20

⇒ 2y – 2z = –4

⇒ y – z = –2 ............... Pers. (2)

Lalu, subtitusikan persamaan (1) di atas ke dalam SPLTV kedua.

⇒ 2x + 4y – 2z = 12

⇒ 2(20 – y – 4z) + 4y – 2z = 12

⇒ 40 – 2y – 8z + 4y – 2z = 12

⇒ 2y – 10z + 40 = 12

⇒ 2y – 10z = 12 – 40

⇒ 2y – 10z = –28  ............... Pers. (3)

Dari persamaan (2) dan persamaan (3) kita peroleh SPLDV y dan z berikut.

y – z = –2

2y – 10z = –28 

■ Metode Eliminasi (SPLDV)

Untuk mengeliminasi y, maka kita kalikan SPLDV pertama dengan 2 agar koefisien y kedua persamaan sama. Selanjutnya kita selisihkan kedua persamaan sehingga kita peroleh nilai z sebagai berikut.

y – z	=	–2	|× 2|	→	2y – 2z	=	–4
2y – 10z	=	–28	|× 1|	→	2y – 10z	=	–28	−
					8z	=	24
					z	=	3

Untuk mengeliminasi z, maka kalikan SPLDV pertama dengan 10 agar koefisien z kedua persamaan sama. Selanjutnya kita kurangkan kedua persamaan sehingga diperoleh nilai y sebagai berikut.

y – z	=	–2	|× 10|	→	10y – 10z	=	–20
2y – 10z	=	–28	|× 1|	→	2y – 10z	=	–28	−
					8y	=	8
					y	=	1

Sampai tahap ini, kita peroleh nilai y = 1 dan z = 3. Langkah terakhir yaitu menentukan nilai x. Cara menentukan nilai x adalah dengan memasukkan nilai y dan z tersebut ke dalam salah satu SPLTV, misalnya x + 3y + 2z = 16 sehingga kita peroleh:

⇒ x + 3y + 2z = 16

⇒ x + 3(1) + 2(3) = 16

⇒ x + 3 + 6 = 16

⇒ x + 9 = 16

⇒ x = 16 – 9

⇒ x = 7

Dengan demikian kita peroleh nilai x = 7, y = 1 dan z = 3 sehingga himpunan penyelesaian SPLTV di atas adalah {(7, 1, 3)}.