Trigonometri

Halo, squad...! Selamat datang kembali di official page nya atikroest.blogspot.com. Tempat di mana squad dapat belajar kapan saja, dan di mana saja. Kali ini, akan membahas mengenai fungsi trigonometri dan sudut istimewa pada trigonometri. Trigonometri adalah cabang ilmu matematika yang mempelajari sudut dalam segitiga dan fungsi trigonometri. Perbandingan trigonometri terdiri atas fungsi sinus, cosinus, tangen, dan fungsi kebalikan dari ketiga fungsi tersebut.

Definisi Sudut dan Ukuran Sudut

Sudut adalah suatu bangun yang dibentuk oleh suatu titik pangkal tertentu dan dua sinar dengan titik pangkal yang sama. Tempat titik pangkal yang merupakan pertemuan dua sinar disebut titik sudut. Sedangkan dua sinar tersebut dinamakan kaki sudut. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut.

Perbandingan Trigonometri

Perbandingan trigonometri meliputi fungsi sinus, cosinus, tangen, dan fungsi kebalikan dari ketiga fungsi tersebut. Perbandingan trigonometri dapat dilihat seperti penjelasan di bawah.

Cara untuk mengingat perbandingan trigonometri dapat dilakukan dengan Jembatan Keledai: SinDeMi CosSaMi TanDeSa.
Perhatikan gambar segitiga berikut!

SinDeMi: Sinus Depan Miring
$sin \; \alpha \; = \frac{\textrm{Sisi Depan}}{\textrm{Sisi Miring}}$
CosSaMi: Cosinus Samping Miring
$cos \; \alpha \; = \frac{\textrm{Sisi Samping}}{\textrm{Sisi Miring}}$
TanDeSa: Tangen Depan Samping
$tan \; \alpha \; = \frac{\textrm{Sisi Depan}}{\textrm{Sisi Samping}}$

Sudut Istimewa pada Trigonometri

Sebelum membahas mengenai sudut istimewa pada trigonometri dan nilainya, perhatikan dulu pembagian daerah diagram kartesius berikut.

Pembagian diagram kartesius dalam empat kuadran dapat mempermudah squad untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri. Pada kuadran I semua nilai (sin, cos, tan, dan kebalikannya) bernilai positif. Perbndingan trigonometri pada kuadran II yang bernilai positif hanya sin dan kebalikannya (cosec). Pada kuadran III, perbandngan trigonometri yang bernilai postif hanya tan dan kebalikannya (cotan). Sedangkan pada kuadran IV, perbndingan trigonometri yang bernilai positif hanya cos dan sec. Squad hanya perlu menghafal nilai fungsi sinus untuk sudut istimewa $30^{o}$ , $30^{o}$ , $30^{o}$ , dan $30^{o}$ . Nilai sudut istimewa lainnya akan mengikuti sesuai rumus pada fungsi identitas trigonometri yang akan diberikan di bawah :

Rumus trigonometri sudut berelasi :
Sudut $90^{o} - \alpha$

$sin (90^{o} - \alpha) = cos \; \alpha$

$cos (90^{o} - \alpha) = sin \; \alpha$

Sudut $90^{o} + \alpha$

$sin (90^{o} + \alpha) = cos \; \alpha$

$cos (90^{o} + \alpha) = - sin \; \alpha$

Sudut $180^{o} - \alpha$

$sin (180 - \alpha) = sin \; \alpha$

$cos (180 - \alpha) = - cos \; \alpha$

Sudut $180^{o} + \alpha$

$sin (180 + \alpha) = - sin \; \alpha$

$cos (180 + \alpha) = - cos \; \alpha$

Sudut $270^{o} - \alpha$

$sin (270^{o} - \alpha) = - cos \; \alpha$

$cos (270^{o} - \alpha) = - sin \; \alpha$

Sudut $270^{o} + \alpha$

$sin (270^{o} + \alpha) = -cos \; \alpha$

$cos (270^{o} + \alpha) = sin \; \alpha$

Sudut $360^{o} - \alpha$

$sin (360^{o} - \alpha) = - sin \; \alpha$

$cos (360^{o} - \alpha) = cos \; \alpha$

Sudut $\alpha + k \cdot 360^{o}$

$sin ( \alpha + k \cdot 360^{o}) = sin \; \alpha$

$cos ( \alpha + k \cdot 360^{o}) = cos \; \alpha$

Tabel sudut berelasi fungsi trigonometri.

Untuk menjelaskan lebih detail penggunaan relasi sudut fungsi trigonometri akan ditunjukkan melalui contoh soal.

Tentukan nilai sudut $Sin \; 225^{o}$ !7

$Sin \; 225^{o} = - Sin (180^{o} + 45^{o} )$

$Sin \; 225^{o} = - Sin \; 45^{o}$

$Sin \; 225^{o} = - \frac{1}{2} \sqrt{2}$

Cari nilai dari cos $300^{o}$ !
Pembahasan:
Pilih salah satu rumus fungsi identitas trigonometri!
Misalkan pilih

$cos \; (360^{o} - \alpha) = cos \; \alpha$

Selanjutnya,

$cos \; 300^{o} = cos \; (360^{o} - 60^{o})$

$cos \; 300^{o} = cos \; 60^{o} = \frac{1}{2}$

Sudut $300^{o}$ berada pada kuadran IV. Fungsi cosinus pada kuadran IV adalah positif. Nilai $cos \; 300^{o} = \frac{1}{2}$ . Hal ini sesuai dengan pernyataan sebelumnya, bukan?

Berikut ini adalah tabel nilai fungsi trigonometri untuk sudut-sudut istimewa

Nilai sudut istimewa dalam derajat:

Nilai Sudut Istimewa Fungsi Trigonometri dalam Derajat

Nilai sudut istimewa dalam radian $(\pi)$ :

Cara menghafal nilai sudut istimewa pada fungsi sinus atau cosinus juga dapat dilakukan dengan menggunakan grafik fungsi sinus dan grafik fungsi cosinus. Sedangkan untuk memperoleh nilai tangen dari sudut istimewa dapat menggunakan rumus berikut.

$\textrm{tan} \; \alpha = \frac{\textrm{sin} \;\alpha}{\textrm{cos}\; \alpha}$

Koordinat Katesius dan koordinat kutub

Pengertian Koordinat Kartesius

Koordinat Kartesius adalah letak suatu titik pada bidang yang dinyatakan dalam absis (x) dan ordinat (y). Pada koordinat kartesius letak suatu titik P dinyatakan dengan himpunan pasangan terurut P(x,y)
Koordinat x sebagai absis, yaitu jarak titik ke sumbu Y.
Koordinat y sebagai ordinat, yaitu jarak titik ke sumbu X.

Pengertian Koordinat Kutub (Polar)

Koordinat Polar atau koordinat kutub adalah letak suatu titik pada bidang yang dinyatakan dalam bentuk jarak (r) dan sudut (α).

Pada koordinat kutub, letak suatu titik P dinyatakan dengan dua ukuran, yaitu jarak r dan ukuran sudut α.

Hubungan antara Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub (Polar)

Jarak r adalah jarak titik P ( x, y) ke titik asal O (0,0). Jarak r diperoleh dengan rumus:

c3 Pengertian Koordinat Kartesius dan Polar Dalam Matematika

Sudut α adalah sudut antara sumbu X positif dengan garis penghubung titik P dengan titik asal O (0,0) yang dihitung berlawanan arah dengan arah jarum jam.

Koordinat kutub titik P dinyatakan dengan P (r, α)

Jika digambarkan, grafik koordinat kartesius dan grafik koordinat polar sebagai berikut

Pada Koordinat polar atau kutub dengan titik pusat O, posisi titik (objek) P dinyatakan dengan (r, α), dimana r adalah jarak OP dan α adalah sudut antara OP dengan sumbu OX positif.

Besar sudut α dihitung mulai dari sumbu OX positif berputar berlawanan arah dengan arah perputaran jarum jam

Perbedaan dan Persamaan antara Koordinat Kartesius dan Koordinat Polar.

Koordinat Kartesius

Pada koordinat kartesius letak suatu titik P dinyatakan dengan himpunan pasangan terurut P(x,y)
→ Koordinat x sebagai absis, yaitu jarak titik ke sumbu Y.
→ Koordinat y sebagai ordinat, yaitu jarak titik ke sumbu X.

Koordinat Kutub (Polar)

Pada koordinat kutub, letak suatu titik P dinyatakan dengan dua ukuran, yaitu jarak r dan ukuran sudut α.
→ Jarak r adalah jarak titik P ( x, y) ke titik asal O (0,0). Jarak r diperoleh dengan rumus pythagoras:

→ Sudut α adalah sudut antara sumbu X positif dengan garis penghubung titik P dengan titik asal O (0,0) yang dihitung berlawanan arah dengan arah jarum jam.
→ Koordinat kutub titik P dinyatakan dengan P (r, α).

Contoh Soal dan Pembahasannya

A. Mengubah atau Mengkonversi Koordinat Polar ke Koordinat Kartesius

Soal 1.

Koordinat kartesius dari titik (10, 315°) adalah ….
A. (-5, -5√2)
B. (-5, 5√2)
C. (5√2, 5√2)
D. (5√2, -5√2)
E. (5, -5√2)

Jawab : D

» Sudut 315° (kuadran IV) —–> (x, -y)
» Dari pilihan jawaban di atas maka kemungkinan jawabannya D atau E
» (r, α) ——> (10, 315°)

x = 10 . cos 315°
x = 10 . ½√2
x = 5√2

y = 10 . sin 315°
y = 10 . -½√2
y = -5√2
Jadi koordinat kartesiusnya adalah (5√2, -5√2)

Untuk lebih jelas dapat dilihat pada gambar di samping.

B. Mengubah atau Mengkonversi Koordinat Kartesius ke Koordinat Polar

Soal 2.

Koordinat kutup dari titik (-6, 6√3) adalah ….
A. (12, 30°)
B. (12, 60°)
C. (12, 90°)
D. (12, 120°)
E. (12, 210°)

Jawab : D
Cara biasa
r² = (-6)² + (6√3)²
r² = 36 + 108
r² = 144
r = 12

a = arc tan (6√3) / -6
a = arc tan -√3
a = 120°
Jadi koordinat kutubnya adalah (12, 120°)

Cara praktis
» (-6, 6√3) ——-> (-x, y) —–> maka berada di kuadran II
» Dari pilihan jawaban di atas yang berada di kuadran II yaitu hanya pilihan D
» Sedangkan r tidak usah dicari karena dari pilihan jawaban semuanya sama

Identitas Trigonometri

Identitas trigonometri adalah bentuk persamaan trigonometri yang menghubungkan suatu perbandingan trigonometri dengan perbandingan trigonometri yang lainnya.

Dalam hal ini terdapat identitas trigonometri dasar yang sudah pernah dibahas pada materi sebelumnya, yaitu :

Disamping itu terdapat pula identitas-identitas dasar yang lain, yang didapat dari proses sebagai berikut:

Sedangkan dari rumus perbandingan tangens diperoleh :

Sebenarnya, ada banyak fungsi identitas trigonometri. Tiga fungsi identitas trigonometri yang diberikan di atas hanyalah sebagian. Rumus tersebut merupakan rumus turunan yang diperoleh dengan menghubungkan satu fungsi trigonometri dengan fungsi trigonometri lainnya. Karena merupakan fungsi identitas, fungsi-fungsi tersebut dapat dibuktikan kebenarannya. Cara membuktikannya dapat dengan cara merubah ruas kiri agar sama dengan ruas kanan, ataupun sebaliknya.

Sebagai contoh, akan dibuktikan kebenaran dari rumus identitas trigonometri $sin^{2} \alpha + cos^{2} \alpha = 1$ .

Pembuktian rumus $sin^{2} \alpha + cos^{2} \alpha = 1$

Perhatikan gambar di bawah!

$sin^{2} \alpha + cos^{2} \alpha = \left( \frac{y}{r} \right)^{2} + \left( \frac{x}{r} \right)^{2}$

$sin^{2} \alpha + cos^{2} \alpha = \frac{y^{2}}{r^{2}} + \frac{x^{2}}{r^{2}}$

$sin^{2} \alpha + cos^{2} \alpha = \frac{y^{2} + x^{2}}{r^{2}}$

Sebelum melanjutkan pembuktian rumus, ingat kembali persamaan pada pythagoras seperti yang terlihat pada gambar di bawah.

rumus identitas trigonometri dan pembuktiannya

Substitusi persamaan $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ ke dalam persamaan terakhir yang diperoleh, sehingga menjadi seperti berikut.

$sin^{2} \alpha + cos^{2} \alpha = \frac{r^{2}}{r^{2}}$

$sin^{2} \alpha + cos^{2} \alpha = 1$

Terbukti

Untuk pembuktian rumus identitas lainnya dapat dibuktikan dengan teknik dan melibatkan persamaan $sin^{2} \alpha + cos^{2} \alpha = 1$ yang telah dibuktikan sebelumnya.

Selain identitas dasar di atas, identitas-identitas yang lain dapat dikembangkan dengan memanfaatkan rumus identitas dasar tersebut.

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :
01. Buktikanlah bahwa 3 + 5sin2 α = 8 – 5cos2 α
Jawab
Ruas kiri = 3 + 5sin2 α

= 3 + 5(1 – cos2 α )
= 3 + 5 – 5cos2 α
= 8 – 5cos2 α
= Ruas kanan

02. Buktikanlah bahwa sec2 α – sin2 α .sec2 α = 1
Jawab

Selanjutnya, akan diulas identitas trigonometri lain yang tidak kalah penting dengan rumus identitas trigonometri yang sudah diberikan sebelumnya. Selain rumus identitas di atas, terdapat rumus identitas lain yaitu rumus identitas trigonometri dari rumus sudut rangkap fungsi trigonometri. Perhatikan persamaan di bawah.

Fungi identitas trigonometri yang diberikan di atas dapat digunakan untuk membantu menyelesaikan soal limit fungsi trigonometri atau berbagai topik masalah dalam pembahasan matematika lain. Untuk menambah pemahaman sobat idschool tentang rumus identitas trigonometri, simak contoh soal dan pembahasan tentang pembuktian identitas trigonometri di bawah.

Contoh Soal dan Pembahasan

Buktikan bahwa persamaan identitas trigonometri di bawah adalah benar!

$1 - \frac{cos^{2} \alpha}{1 + sin \alpha} = sin \alpha$

Bukti:

$1 - \frac{cos^{2} \alpha}{1 + sin \alpha} = 1 - \frac{1 - sin^{2} \alpha}{1 + sin \alpha}$

$1 - \frac{cos^{2} \alpha}{1 + sin \alpha} = 1 - \frac{\left( 1 - sin \alpha \right) \left( 1 + sin \alpha) \right)}{1 + sin \alpha}$

$1 - \frac{cos^{2} \alpha}{1 + sin \alpha} = 1 - \left( 1 - sin \alpha \right)$

$1 - \frac{cos^{2} \alpha}{1 + sin \alpha} = 1 - 1 + sin \alpha$

$1 - \frac{cos^{2} \alpha}{1 + sin \alpha} = sin \alpha$

Terbukti

Aturan cosinus dan Sinus

Aturan Cosinus

Sudah disinggung sedikit sebelumnya, bahwa aturan cosinus dapat digunakan untuk menentukan panjang salah satu sisi segitiga atau besar salah satu sudut segitiga. Persamaan yang terdapat pada aturan cosinus juga diperoleh dengan memanfaatkan fungsi trigonometri dan teorema pythagoras.

Sebagai pengantar, simak cara mendapatkan tiga persamaan pada aturan cosinus di bawah.

Perhatikan gambar di bawah!

Pada $\Delta DBC$ :

$Sin \; B = \frac{h}{a} \rightarrow h = a \cdot Sin \; B$

$Cos \; B = \frac{DB}{a} \rightarrow DB = a \cdot Cos \; B$

$AD = AB - DB = c - a \cdot Cos \; B$

Pada $\Delta ADC$ dapat diperoleh persamaan di bawah (berdasar teorema pythagoras):

$AC^{2} = AD^{2} + CD^{2}$

$b^{2} = \left( c - a \cdot Cos \; B \right)^{2} + \left( a \cdot Sin \; B\right)^{2}$

$b^{2} = c^{2} - 2ac \cdot Cos \; B + a^{2} \cdot Cos^{2}B + a^{2} \cdot Sin^{2} B$

$b^{2} = c^{2} - 2ac \cdot Cos \; B + a^{2} \left( Cos^{2}B + Sin^{2} B\right)$

$b^{2} = c^{2} - 2ac \cdot Cos \; B + a^{2} \cdot 1$

$b^{2} = c^{2} - 2ac \cdot Cos \; B + a^{2}$

$b^{2} = c^{2} + a^{2} - 2ac \cdot Cos \; B$

Persamaan akhir yang di atas merupakan salah satu aturan cosinus. Dengan mengikuti langkah serupa seperti yang telah dikerjakan di atas, akan diperoleh tiga buah persamaan aturan cosuinus. Tiga buah persamaan tersebut dapat dilihat pada gambar di bawah.

Berdasarkan tiga persamaan aturan cosinus di atas, dapat diperoleh rumus fungsi cosinus yang dapat digunakan untuk menentukan besar sudut segitiga jika diketahui panjang ketiga sisi segitiga. Persamaan fungsi cosinus tersebut dapat dilihat pada persamaan di bawah.

Contoh Soal dan Pembahasan

Pada suatu segitiga dengan sisi-sisi a, b, dan c memenuhi $a^{2} - b^{2} = c^{2} - bc$ . Maka besar sudut A adalah ….
A.    $90^{o}$
B.    $60^{o}$
C.    $45^{o}$
D.    $30^{o}$
E.    $15^{o}$

Pembahasan:

Diketahui:

$a^{2} - b^{2} = c^{2} - bc$

Sehingga,

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - bc$

Salah satu rumus cosinus adalah:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc \cdot cos \; A$

Berdasarkan dua persamaan di atas, akan diperoleh nilai cos A.

contoh soal aturan cosinus dan pembahasan

Aturan Sinus

Aturan sinus merupakan persamaan yang menyatakan hubungan tiga sudut dan tiga sisi yang terdapat pada segitiga sembarang. Tujuan dari penggunaan aturan sinus adalah untuk mengetahui panjang sisi segitiga yang terdapat pada segitiga sembarang. Atau dapat juga digunakan untuk mengetahui besar sudut segitiga yang belum diketahui.

Sebelumnya, squad sepertinya perlu tahu dari mana persamaan sinus diperoleh. Simak cara mendapatkan persamaan aturan sinus yang akan diberikan di bawah.

Perhatikan gambar di bawah!

Pada $\Delta ACR$ :

$Sin \; A = \frac{CR}{b} \rightarrow CR = b \cdot sin \; A$

Pada $\Delta BCR$ :

$Sin \; B = \frac{CR}{a} \rightarrow CR = a \cdot sin \; B$

Berdasarkan dua persamaan di atas, dapat disimpulkan bahwa

$CR = CR$

$b \cdot sin \; A = a \cdot sin \; B$

$\frac{a}{sin \; A} = \frac{b}{sin \; B}$

Dengan cara yang serupa akan diperoleh persamaan aturan sinus seperti yang diberikan pada persamaan di bawah.

Fungsi aturan sinus di atas dapat digunakan untuk menentukan panjang sisi segitiga yang belum diketahui. Selain itu, juga dapat digunakan untuk mencari besar sudut segitiga yang belum diketahui.

Untuk menambah pemahaman squad, akan diberikan contoh soal yang dilengkapi dengan pembahasan mengenai penggunaan aturan sinus untuk menentukan panjang salah satu sisi segi tiga yang belum diketahui. Simak contoh soal dan pembahasan aturan sinus yang diberikan di bawah.

Contoh Soal dan Pembahasan

Suatu segitiga ABC memiliki panjang AC = 8 cm. Jika besar $\angle BAC = 45^{o}$ dan $\angle BAC = 45^{o}$ , maka panjang BC = … cm.

$\textrm{A.} \; \; \; 8$

$\textrm{B.} \; \; \; 7$

$\textrm{C.} \; \; \; \frac{8 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

$\textrm{D.} \; \; \; 4 \sqrt{2}$

$\textrm{E.} \; \; \; \frac{8 \sqrt{6}}{3}$

Pembahasan:

Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal, dapat diperoleh informasi seperti berikut ini.

Panjang BC dapat dicari menggunakan aturan sinus.

$\frac{BC}{sin \; A} = \frac{AC}{sin \; B}$

$\frac{BC}{sin \; 45^{o}} = \frac{AC}{sin \; 60^{o}}$

$\frac{BC}{\frac{1}{2} \sqrt{2}} = \frac{8}{\frac{1}{2} \sqrt{3} }$

$BC = \frac{8}{\frac{1}{2} \sqrt{3}} \times \frac{1}{2} \sqrt{2}$

$BC = \frac{8 \sqrt{2}}{ \sqrt{3}}$

$BC = \frac{8 \sqrt{2}}{ \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$BC = \frac{8 \sqrt{6}}{ 3}$

Jawaban: E

Oke, sekian dulu pembahasan mengenai fungsi trigonometri dan sudut istimewa pada trigonometri. Jangan lupa baca juga pembahasan materi lainnya biar squad semakin pandai bisa jadi yang terbaik. Semoga bermanfaat.

Cari Blog Ini

Matematikaku

Trigonometri

Definisi Sudut dan Ukuran Sudut

Perbandingan Trigonometri

Sudut Istimewa pada Trigonometri

Pengertian Koordinat Kartesius

Pengertian Koordinat Kutub (Polar)

Hubungan antara Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub (Polar)

Perbedaan dan Persamaan antara Koordinat Kartesius dan Koordinat Polar.

Contoh Soal dan Pembahasannya

A. Mengubah atau Mengkonversi Koordinat Polar ke Koordinat Kartesius

Soal 1.

B. Mengubah atau Mengkonversi Koordinat Kartesius ke Koordinat Polar

Soal 2.

Identitas Trigonometri

Contoh Soal dan Pembahasan

Aturan Cosinus

Contoh Soal dan Pembahasan

Aturan Sinus

Contoh Soal dan Pembahasan

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Relasi Fungsi

Lingkaran

Peluang