Perbandingan

1. Arti Perbandingan

Perbandingan merupakan suatu hal yang sangat penting dalam matematika, demikian juga dalam kehidupan sehari-hari kita pun tidak lepas dari perbandingan.
Sebagai ilustrasi perhatikan contoh berikut :
a. Usia Ayah 45 tahun dan usia ibu 40 tahun, sedangkan usia Ali 15 tahun serta usia Ani 10 tahun.

Perbandingan usia ayah dan ibu = 45 tahun : 40 tahun = 45 : 40 = 9 : 8
Perbandingan Usia Ali dan Ani = 15 tahun : 10 tahun = 15 : 10 = 3 : 2
Perbandingan usia Ayah dan Ali = 45 tahun : 15 tahun = 45 : 15 = 3 : 1

b. Tinggi badan Dewa 160 cm, tinggi badan Dewi, 120 cm dan tinggi badan Gita 60 cm

Perbandingan tinggi badan Dewa dan Dewi = 160 cm:120 cm = 160:120 = 4:3
Perbandingan tinggi badan Dewi dan Gita = 120 cm:60 cm = 120:60 = 2:1
Perbandingan tinggi badan Dewa dan Gita = 160 cm:60 cm = 160:60 = 8:3

Dari contoh tersebut dapat diketahui bahwa untuk membandingkan dua buah besaran perlu diperhatikan :

a. Bandingkan besaran yang satu dengan yang lain
b. Samakan satuannya
c. Sederhanakan bentuk perbandingannya

Dari uraian dan contoh masalah di atas dapat diperoleh arti perbandingan sebagai berikut :

a. Perbandingan antara a dan b ditulis dalam bentuk sederhana

atau a : b, dengan a dan b merupakan bilangan asli, dan b

0.
b. Kedua satuan yang dibandingkan harus sama.
c. Perbandingan dalam bentuk sederhana atinya antara a dan b sudah tidak mempunyai faktor persekutuan, kecuali 1.

2. Skala

Istilah skala sering kita jumpai kalau kita membuka peta/atlas.

Jika pada peta tertulis skala 1 : 5.000.000, berarti :
1 cm pada peta mewakili 5.000.000 cm jarak yang sebenarnya, atau
1 cm pada peta mewakili 50.000 m jarak yang sebenarnya, atau
1 cm pada peta mewakili 50 km jarak yang sebenarnya
Skala adalah perbandingan ukuran pada gambar (cm) dengan ukuran sebenarnya (cm) Tampak bahwa skala menggunakan satuan cm untuk dua besaran yang dibandingkan Perlu diingat bahwa : 1 km = 1.000 m = 100.000 cm.
Contoh berikut menjelaskan bagaimana kita menggunakan skala pada sebuah peta.

a. Pada sebuah peta jarak tempat A dan B adalah 3 cm, padahal jarak A dan B sebenarnya 450 km.
Tentukan skala yang dipergunakan pada peta tersebut !

Jawab :
Skala = Ukuran pada peta : Ukuran yang sebenarnya
= 3 cm : 450 km
= 3 cm : 45.000.000 cm (pada skala harus menggunakan satuan cm)
= 3 : 45.000.000
= 1 : 15.000.000

b. Pada sebuah peta jarak kota A ke kota B adalah 8 cm. Jika skala peta itu adalah 1 : 500.000, maka berapakah jarak sebenarnya kedua kota tersebut ?

Jawab :
Skala 1 = 500.000 berarti 1 cm pada peta mewakili jarak 500.000 cm jarak sesungguhnya, atau 1 cm pada peta mewakili jarak 5 km jarak sesungguhnya.

c. Sebuah peta menggunakan skala 1 : 25.000.000 . Jika jarak dua tempat sebenarnya 300 km, berapakah jarak kedua tempat itu pada peta ?

Jawab :
Skala 1 : 25.000.000
Artinya 1 cm pada peta mewakili 25.000.000 cm jarak sesungguhnya, atau 1 cm pada peta mewakili 250 km jarak sesungguhnya.
Jadi jarak kedua tempat itu pada peta adalah 300 : 250 = 1,2 cm

Nah kalian sudah mempelajari perbandingan, skala dan penggunaannya, mudah bukan ?

3. Skala Sebagai Suatu Perbandingan

Sekarang coba bandingkan ketiga ukuran pas foto berikut :

Apakah pas foto 2 cm x 3 cm sebanding dengan pas foto 3 cm x 4 cm ?

, ternyata pernyatannya salah, jadi tidak sebanding
Sekarang bandingkan pas foto 2 cm x 3 cm dengan pas foto 4 cm x 6 cm !

, ternyata pernyatannya benar, jadi sebanding

Contoh perbandingan di atas akan kita pergunakan untuk menentukan ukuran suatu benda dengan model/benda tiruan/maketnya.

a. Sebuah model pesawat terbang panjang badannya 18 cm, lebar sayapnya 12 cm. Jika lebar sayap pesawat sesungguhnya 8 m, berapakah panjang badan pesawat sesungguhnya?

Jawab:

Jadi panjang badan pesawat sesungguhnya adalah 12 meter.

b. Sebuah gedung bertingkat tampak dari depan lebarnya 20 meter dan tingginya 60 meter. Jika tinggi gedung pada model adalah 12 cm, berapakah lebar gedung pada model ?

Jawab :

Jadi lebar gedung pada model adalah 4 cm.

4. Perbandingan Senilai

Perbandingan senilai berkaitan dengan perbandingan dua buah besaran, di mana jika besaran yang satu berubah naik/turun, maka besaran yang lain juga berunah naik/turun.
Contoh masalah yang berkaitan dengan perbandingan senilai adalah :

Jumlah barang yang dibeli dengan harga yang harus di bayar
Jumlah konsumsi bahan bakar dan jarak yang ditempuh
Jumlah kaleng cat dan luas permukaan yang bisa di cat
dan lain-lain

Cara menyelesaikan masalah perbandingan senilai adalah dengan :
a. Menentukan nilai satuan
Dilakukan dengan menentukan nilai satuan dari besaran yang dibandingkan, baru kemudian dikalikan dengan besaran yang ditanyakan.
b. Menuliskan perbandingan senilai
Dilakukan dengan perbandingan langsung antara dua keadaan atau lebih

Misalkan diketahui dua besaran A dan B

Karena berlaku perbandingan senilai maka :

Berdasarkan hubungan tersebut diperoleh :

Contoh Soal:

1. Sebuah kendaraan dapat menempuh jarak 24 km dengan mengkonsumsi bensin 2 liter. Berapa liter bensin yang diperlukan untuk menempuh jarak 60 km ?

Jawab :
Cara 1 :
2 liter bensin dapat menempuh jarak 24 km
1 liter bensin dapat menempuh jarak 12 km
Jadi untuk menempuh jarak 60 km diperlukan bensin sebanyak 60 : 12 = 5 liter.

Cara 2 :
Di buat tabel sebagai berikut :

Perhitungan dilakukan dengan :

Jadi untuk menempuh jarak 60 km diperlukan bensin sebanyak 60 : 12 = 5 liter.

2. 1 lusin baju dibeli dengan harga Rp 480.000,00. Berapakah harga 15 buah baju yang sama ?

Jawab :
Cara 1 :
1 lusin baju harganya Rp 480.000,00
1 buah baju harganya Rp 480.000,00 : 12 = Rp 40.000,00
Jadi harga 15 buah baju adalah 15 x Rp 40.000,00 = Rp 600.000,00

Cara 2 :
Dibuat tabel sebagai berikut :

Perhitungan dilakukan dengan :

Jadi harga 15 buah baju adalah 15 x Rp 40.000,00 = Rp 600.000,00

Nah materi perbandingan senilai sudah kalian pelajari, bahkan ada 2 cara menjawab soal, silahkan dipilih alternatif mana yang kalian anggap mudah, tentunya tidak sulit bukan ?

5. Perbandingan Berbalik Nilai

Perbandingan berbalik nilai berkaitan dengan membandingkan dua buah keadaan di mana jika besaran yang satu bertambah/berkurang maka besaran yang lain berkurang/bertambah.
Masalah yang berkaitan dengan perbandingan berbalik nilai antara lain :

Banyaknya pekerja dengan waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan pekerjaan (untuk pekerjaan yang sama)
Kecepatan dengan waktu tempuh (untuk jarak yang sama)
Banyaknya ternak dan waktu untuk menghabiskan makanan tersebut (untuk jumlah makanan ternak yang sama)
Dan sebagainya

Misalkan diketahui dua besaran A dan B

Karena berlaku perbandingan berbalik nilai maka :

Berdasarkan hubungan tersebut diperoleh :

Contoh Soal:

1. Suatu pekerjaan akan selesai dalam waktu 42 hari jika dikerjakan oleh 12 orang. Berapa lama pekerjaan yang sama akan selesai jika dikerjakan oleh 14 orang ?

Jawab :
Dibuat tabel sebagai berikut :

Perhitungan perbandingan berbalik nilai dilakukan dengan membalik Salah satu ruas:

Jadi jika pekerjaan tersebut dikerjakan oleh 14 pekerja akan selesai dalam waktu 36 hari.

2. Jarak kota A ke kota B sama dengan jarak kota B ke kota C. Jika AB dapat ditempuh dengan kecepatan 40 km/jam selama 10 jam, berapakah kecepatan yang harus ditambahkan jika jarak BC akan ditempuh selama 8 jam ?

Jawab :
Dibuat tabel sebagai berikut :

Perhitungan perbandingan berbalik nilai dilakukan dengan membalik salah satu ruas:

Kecepatan yang harus ditambahkan adalah 50 – 40 = 10 km/jam.

Contoh 1: Soal UN Matematika SMP Tahun 2015
Perbandingan panjang dan lebar persegipanjang 7 : 4. Jika keliling persegipanjang tersebut 66 cm, maka luasnya adalah ….
A. 132 $cm^{2}$
B. 198 $cm^{2}$
C. 218 $cm^{2}$
D. 252 $cm^{2}$

Pembahasan:
Mencari jumlah panjang dan lebar:

$K = 66 \; cm$

$2(p + l) = 66$

$p + l = \frac{66}{2} = 33$

Diketahui perbandingan p : l

$p : l = 7 : 4$

Jumlah perbandingan = 7 + 4 = 11

Mencari panjang:

$p = \frac{7}{11} \times 33$

$p = 21 \; cm$

Mencari lebar:

$l = \frac{4}{11} \times 33$

$l = 12 \; cm$

Mencari luas persegi panjang:

$L = p \times l$

$L = 21 \times 12$

$L = 252 \; cm^{2}$

Jawaban: D

Contoh 2: Soal UN Matematika SMP Tahun 2013
Perbandingan uang Dian dan Rama 3 : 2. Jika jumlah uang Dian dan Rama Rp 40.000,00, selisih uang Dian dan Rama adalah ….
A. Rp 8.000,00
B. Rp 16.000,00
C. Rp 24.000,00
D. Rp 32.000,00

Pembahasan:
Perbandingan uang Dina dan Rama = 3 : 2

$D : R = 3 : 2$

Jumlah perbandingan = 3 + 2 = 5

Mencari uang Dina

$\textrm{Dina} \; = \; \frac{3}{5} \times 40.000$

$\textrm{Dina} \; = \; Rp24.000,00$

Mencari uang Rama

$\textrm{Rama} \; = \; \frac{2}{5} \times 40.000$

$\textrm{Rama} \; = \; Rp16.000,00$

Selisih uang Dina dan Rama:

$\textrm{selisih} \; = \; Rp24.000,00 - Rp16.000,00$

$\textrm{selisih} \; = \; \; Rp8.000,00$

Selain cara di atas, ada cara yang lebih singkat. Langkah-langkahnya dapat dilihat pada proses pengerjaan di bawah.

Trik Super
Selisih perbandingan = 3 – 2 = 1
Jumlah perbandingan = 3 + 2 = 5

Selisih uang Dina dan Rama adalah

$\textrm{selisih} \; = \; \frac{1}{5} \times 40.000$

$\textrm{selisih} \; = \; \; Rp8.000,00$

Jawaban: A

Contoh 3: Soal UN Matematika SMP Tahun 2012
Perbandingan kelereng Egi dan Legi 3 : 2. Jika selisih kelereng mereka 8, jumlah kelereng Egi dan Legi adalah…
A. 40
B. 32
C. 24
D. 16

Pembahasan:
Perbandingan kelereng Egi dan Legi

$E : L = 3 : 2$

Selisih perbandingan kelereng Egi dan Legi= 3 – 2 = 1

Mencari banyak kelereng Egi:

$\textrm{Egi} \; = \; \frac{3}{1} \times 8 = 24$

Mencari banyak kelereng Legi:

$\textrm{Legi} \; = \; \frac{2}{1} \times 8 = 16$

Jumlah kelereng Egi dan Legi = 24 + 16 = 40.

Selain cara di atas, ada cara yang lebih singkat. Langkah-langkahnya dapat dilihat pada proses pengerjaan di bawah.

Trik Super
Selisih perbandingan = 3 – 2 = 1
Jumlah perbandingan = 3 + 2 = 5
Mencari juumlah kelereng Egi dan Legi

$\textrm{Jumlah} \; = \frac{5}{1} \times 8$

$\textrm{Jumlah} \; = \; \; 40$

Jawaban: A

Contoh 4: Soal UN Matematika SMP Tahun 2011
Pada denah dengan skala 1 : 200 terdapat gambar kebun berbentuk persegi panjang dengan ukuran 7 cm $\times$ 4,5 cm. Luas kebun sebenarnya adalah ….
A. 58 $m^{2}$
B. 63 $m^{2}$
C. 126 $m^{2}$
D. 140 $m^{2}$

Pembahasan:
Mencari panjang sebenarnya:

$p = 7 \times 200$

$p = 1.400 \; cm \; = \; 14 \; m$

Mencari panjang sebenarnya:

$l = 4,5 \times 200$

$l = 900 \; cm \; = \; 9 \; m$

Mencari luas sebenarnya:

$L \; = \; p \times l$

$L \; = \; 14 \times 9$

$L \; = \; 126 \; m^{2}$

Jawaban: C

Contoh 5: Soal UN Matematika SMP Tahun 2009
Jarak dua kota pada peta adalah 20 cm. Jika skala peta 1 : 600.000, jarak dua kota sebenarnya adalah ….
A. 1.200 km
B. 120 km
C. 30 km
D. 12 km

Pembahasan:
Berdasarkan keterangan pada soal dapat diketahui bahwa

$s \; = \; 1 : 600.000$

$J_{p} \; = \; 20 \; cm$

Mencari jarak sebenarnya:

$J_{s} = \frac{J_{p}}{s}$

$J_{s} = \frac{20}{\frac{1}{60.000}}$

$J_{s} = 20 \times 60.000$

$J_{s} = 1.200.000 \; cm$

$J_{s} = 12 \; km$

Jawaban: D

Contoh 6: Soal UN Matematika SMP Tahun 2007
Sebungkus coklat akan dibagikan kepada 24 anak, setiap anak mendapat 8 coklat. Jika coklat itu dibagikan kepada 16 anak, maka banyak coklat yang diperoleh setiap anak adalah ….
A. 8 coklat
B. 12 coklat
C. 16 coklat
D. 48 coklat

Pembahasan:
Banyak coklat yang akan diterima masing-masing dari 16 anak:

$= \frac{24}{16} \times 8$

$= \frac{192}{16}$

$= \; 8 \; \textrm{coklat}$

Jawaban: A

Contoh 7: Soal UN Matematika SMP Tahun 2006
Seorang tukang jahit mendapat pesanan menjahit kaos untuk keperluan kampanye. Ia hanya mampu menjahit 60 potong dalam 3 hari, Bila ia bekerja selama 2 minggu, berapa potong kaos yang dapat ia kerjakan?
A. 80 potong
B. 120 potong
C. 180 potong
D. 280 potong

Pembahasan:
Banyaknya kaos yang dapat dikerjakan oleh penjahit untuk 1 hari:

$= \frac{60}{3} = 20 \; \textrm{potong}$

Lamanya tukang jahit bekerja adalah 2 minggu.

$2 \; \textrm{minggu} \; = \; 2 \times 7 \; = \; 14 \; \textrm{hari}$

Banyaknya kaos yang dikerjakan penjahit tersebut adalah

$= 14 \times 20 \; \textrm{potong}$

$= 280 \; \textrm{potong}$

Jawaban: D

Contoh 8: Soal UN Matematika SMP Tahun 2005
Kue dalam kaleng dibagikan kepada 6 orang anak, masing-masing mendapat 30 kue dan tidak tersisa. Bila kue tersebut dibagikan kepada 10 orang anak, masing-masing akan mendapat kue sebanyak ….
A. 50
B. 36
C. 20
D. 18

Pembahasan:
Banyak kue yang akan diterima masing-masing dari 10 anak:

$= \frac{6}{10} \times 30$

$= \frac{180}{10}$

$= \; 18 \; \textrm{kue}$

Jawaban: D

Contoh 9 : Soal UN Matematika SMP 2016
Perhatikan denah rumah Arman berikut ini!

Luas rumah sebenarnya adalah ….
A. 45 $m^{2}$
B. 72 $m^{2}$
C. 108 $m^{2}$
D. 135 $m^{2}$

Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
Pembahasan Soal UN Matematika SMP 2016

Panjang rumah dalam denah = 5 cm
Lebar rumah dalam denah = 3 cm
Panjang rumah sebenarnya = 5 cm \times 300 = 1.500 cm = 15 m
Lebar rumah sebenarnya = 3 cm \times 300 = 900 cm = 9 m
Luas rumah sebenarnya = panjang \times lebar = 15 m \times 9 m = $135 \; m^{2}$

Jadi, luas rumah Arman sebenarnya adalah 135 $m^{2}$ .
Jawaban: D

Contoh 10 : Soal UN Matematika SMP Tahun 2015
Untuk membuat 9 loyang kue diperlukan 6 kg tepung terigu. Suatu toko ingin membuat 12 loyang kue. Banyak tepung terigu yang diperlukan adalah ….
A. 4 kg
B. 8 kg
C. 9 kg
D. 12 kg

Pembahasan:
Jenis soal di atas merupakan perbandingan senilai.
9 loyang $\rightarrow$ 6 kg
12 loyang $\rightarrow$ x kg
Banyaknya terigu yang dibutuhkan adalah

$\frac{9}{12} = \frac{6}{x}$

$9x = 12 \times 6$

$x = \frac{72}{9} = 8 \; \textrm{kg}$

Jawaban: B

Contoh 11 : Soal UN Matematika SMP Tahun 2014
Sebuah mobil menempuh jarak dari kota A ke kota B dalam waktu 1,2 jam dengan kecepatan 80 km/jam. Agar jarak tersebut dapat ditempuh dalam waktu 60 menit maka kecepatan mobil yang harus dicapai adalah….
A. 96 km/jam
B. 72 km/jam
C. 66 km/jam
D. 62 km/jam

Pembahasan:
Jenis soal di atas merupakan perbandingan berbalik nilai.
Waktu 1,2 jam $\rightarrow$ kecepatan 80 km/jam
Waktu 60 menit (1 jam) $\rightarrow$ kecepatan x km/jam
Kecepatan mobil yang harus dicapai

$\frac{1,2}{1} = \frac{x}{80}$

$x = 1,2 \times 80$

$x = 96 \; km/jam$

Jawaban: A

Contoh 12 : Soal UN Matematika SMP Tahun 2011
Pembangunan sebuah jembatan direncanakan selesai dalam waktu 132 hari oleh 72 pekerja. Sebelum pekerjaan dimulai ditambah 24 orang pekerja. Waktu untuk menyelesaikan pembangunan jembatan tersebut adalah….
A. 99 hari
B. 108 hari
C. 126 hari
D. 129 hari

Pembahasan:
Jenis soal di atas merupakan perbandingan berbalik nilai.
Gambaran kondisinya adalah sebagai berikut.
Jumlah hari (awal) = 132 hari
Jumlah Pekerja (awal) = 72
Jumlah hari (tambah) = x
Jumlah Pekerja (tambah) = 96

Waktu untuk menyelesaikan pembangunan jembatan adalah

$\frac{132}{x} = \frac{96}{72}$

$\frac{132}{x} = \frac{4}{3}$

$4x = 132 \times 3$

$4x = 396$

$x = \frac{396}{4} = 99 \; \textrm{hari}$

Jawaban: A

Contoh 13 : Soal UN Matematika SMP Tahun 2009
Sebuah panti asuhan memiliki persediaan beras yang cukup untuk 20 orang selama 15 hari. Jika penghuni panti asuhan bertambah 5 orang, persediaan beras akan habis dalam waktu….
A. 8 hari
B. 10 hari
C. 12 hari
D. 20 hari

Pembahasan:
Jenis soal di atas merupakan perbandingan berbalik nilai.
Gambaran kondisinya adalah sebagai berikut.
Jumlah hari (awal) = 15 hari
Jumlah orang (awal) = 20 orang
Jumlah hari (tambah) = x
Jumlah orang (tambah) = 25 orang

Waktu untuk menyelesaikan pembangunan jembatan adalah

$\frac{15}{x} = \frac{25}{20}$

$\frac{15}{x} = \frac{5}{4}$

$5x = 15 \times 4$

$5x = 60$

$x = \frac{60}{5} = 12 \; \textrm{hari}$

Jawaban: C

Contoh 14 : Soal UN Matematika SMP Tahun 2008
Sebuah bangunan dikerjakan dalam 32 hari oleh 25 orang pekerja. Agar pekerjaan tersebut dapat diselesaikan dalam 20 hari, banyak pekerja yang diperlukan adalah ….
A. 15 orang
B. 40 orang
C. 50 orang
D. 60 orang

Pembahasan:
Jenis soal di atas merupakan perbandingan berbalik nilai.
Gambaran kondisinya adalah sebagai berikut.
Jumlah hari (awal) = 32 hari
Jumlah pekerja (awal) = 25 orang
Jumlah hari (akhir) = 20 hari
Jumlah orang (akhir) = x orang

Banyak pekerja yang diperlukan adalah

$\frac{32}{20} = \frac{x}{25}$

$\frac{16}{10} = \frac{x}{25}$

$10x = 16 \times 25$

$10x = 400$

$x = \frac{400}{10} = 40 \; \textrm{orang}$

Jawaban: C

Contoh 15 : Soal UN Matematika SMP Tahun 2008
Sebuah mobil yang melaju sejauh 144 km memerlukan 12,8 liter premix. Jika di dalam tangki terdapat 8 L premix, maka jarak yang dapat ditempuh mobil tersebut adalah ….
A. 230,4 km
B. 115,2 km
C. 96 km
D. 90 km

Pembahasan:
Jenis soal di atas merupakan perbandingan senilai.
Gambaran kondisinya adalah sebagai berikut.
Jarak yang ditempuh (kondisi 1) = 144 km
Bahan bakar yang dibutuhkan (kondisi 1) = 12,8 liter
Jarak yang ditempuh (kondisi 2) = x km
Bahan bakar yang ada (kondisi 2) = 8 liter

Banyak pekerja yang diperlukan adalah

$\frac{144}{x} = \frac{12,8}{8}$

$\frac{144}{x} = \frac{3,2}{2}$

$3,2x = 144 \times 2$

$3,2x = 288$

$x = \frac{288}{3,2} = 90 \; \textrm{km}$

Jawaban: D

Contoh 16 : Soal UN Matematika SMP Tahun 2007
Untuk membuat 60 pasang pakaian, seorang penjahit memerlukan waktu selama 18 hari. Jika penjahit tersebut bekerja selama 24 hari, berapa pasang pakaian yang dapat dibuat?
A. 40 pasang
B. 75 pasang
C. 80 pasang
D. 90 pasang

Pembahasan:
Jenis soal di ata merupakan perbandingan senilai.
Waktu 18 hari $\rightarrow$ pakaian 60 pasang
Waktu 24 hari $\rightarrow$ pakaian x pasang

Banyaknya pasang pakaian untuk 24 hari:

$\frac{18}{24} = \frac{60}{x}$