BILANGAN BULAT dan BILANGAN PECAHAN

BILANGAN BULAT dan BILANGAN PECAHAN

A. Bilangan Bulat

Pengertian

Bilangan bulat terdiri atas bilangan bulat positif atau bilangan asli, bilangan nol dan bilangan bulat negatif.

Bilangan bulat digambarkan pada garis bilangan sbb:

 

Bilangan bulat terdiri dari

• Bilangan bulat positif : { 1, 2, 3, 4, .....} 
• Bilangan bulat negatif : {...., -4, -3, -2, -1} 
• Bilangan nol : {0}

Di dalam bilangan bulat termuat bilangan-bilangan :

1. Bilangan Cacah→(0,1,2,3,4,...)
   Bilangan yang dimulai dari nol 
2. Bilangan Asli→(1,2,3,4,...)
   Bilangan yang dimulai dari 1 
3. Bilangan Genap→(2,4,6,8,...)Bilangan yang habis dibagi 2 
4. Bilangan Ganjil→(1,3,5,7,...)
   Bilangan yang tidak habis dibagi 2 (bersisa) 
5. Bilangan Prima→(2,3,5,7,11,...)
   Bilangan asli yang hanya habis dibagi oleh bilangan satu dan bilangannya sendiri

Operasi Hitung pada Bilangan Bulat

1. Penjumlahan dan Pengurangan  
   Berlaku :
   1)      a + b      =  a + b
   2)      a – b       =  a + (-b )
   3)      -a + (-b)  = - (a + b)
   4)      a – (-b)    = a + b
2. Perkalian dan Pembagian 
   Perkalian merupakan penjumlahan secara berulang.
   contoh: 3 x 5 = 5 + 5 + 5 = 15
   Berlaku:
   1)      a  x  b      =  ab
   2)      a x (– b)  = - ab
   3)      (-a) x b    = - ab
   4)       (-a) x (-b) = ab
   
   
   Pembagian merupakan kebalikan/invers dari perkalian.
   
   
   Contoh : 
   Berlaku :
   

Sifat-sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat

1. Sifat Komutatif (pertukaran)
   • Pada penjumlahan
     a + b = b + a
     contoh:
     4 + 8 = 8 + 4 
   • Pada perkalian
     a x b = b x a
2. Sifat Asosiatif (pengelompokan)
   
   • Pada penjumlahan
     a + (b + c) = (a + b) + c
     contoh:
     4 + ( 5 + 6) = ( 4 + 5 ) + 6 = 15 
   •  Pada perkalian
     a x (b x c ) = (a x b)  x  c 
3. Sifat Distributif (penyebaran)
   
   • Pada operasi perkalian terhadap penjumlahan
     a x (b + c ) = (a x b ) + ( a x c )
     contoh:
     2 x ( 3 + 4 ) = (2 x 3 ) + ( 2 x 4 ) = 14 
   • Pada operasi perkalian terhadap pengurangan
     a x (b - c ) = (a x b ) - ( a x c )

Pangkat dan Akar Pangkat Bilangan Bulat

1. Kuadrat dan Pangkat Tiga Bilangan Bulat
   • Kuadrat Bilangan Bulat (Pangkat dua)
     Diperoleh dengan mengalikan bilangan itu dengan bilangan itu sendiri, atau mengalikan bilangan tersebut secara berulang sebanyak dua kali.
     Contoh : 
   • Pangkat Tiga Bilangan Bulat
     Diperoleh dengan mengalikan bilangan tersebut secara berulang sebanyak tiga kali.
2. Akar Kuadrat dan Akar Pangkat Tiga
   
   • Akar Kuadrat
     Merupakan kebalikan dari kuadrat (pangkat dua).
     Lambangnya  (akar pangkat dua)
     contoh:  karena  dan 
   • Akar Pangkat Tiga
     Merupakan kebalikan dari pangkat tiga. Lambangnya  (akar pangkat tiga)

B. Bilangan Pecahan

Bilangan pecahan terdiri dari pembilang dan penyebut

; a = pembilang dan b = penyebut

1. Macam-macam bilangan Pecahan
   • Pecahan Biasa
     pembilangnya lebih kecil dari penyebut(dalam bentuk paling sederhana)
     ; a < b contoh:  
   • Pecahan campuran
     pembilangnya lebih besar dari penyebut
     ; a > bcontoh:  
   • Pecahan desimal
     pecahan yang dalam penulisannya menggunakan tanda koma.
     contoh: 0, 5 ;  1, 75
     Bentuk desimal dapat diubah ke pecahan biasa atau campuran denganmenggeser tanda koma ke arah kanan dengan memperhatikan persepuluhan,perseratusan, perseribuan dst
     Contoh :
     bentuk pecahan dari 1,75
     tanda koma digeser kekanan 2 kali sehingga 1,75 menjadi 175 pergeseran sebanyak 2 kali, maka nilai hasil pergeseran dikalikan dengan perseratusan menjadi
   • Pecahan Persen
     pecahan yang menggunakan lamabang % yang berarti perseratus a% berarti  
     Mengubah bentuk persen menjadi pecahan biasa
     
     Mengubah bentuk persen menjadi pecahan desimal
     
     Mengubah bentuk pecahan menjadi bentuk persen
     
   • Pecahan Permil
     Pecahan yang menggunakan lambang %0 yang berarti perseribu
     
2. Operasi Hitung pada Bilangan PecahanPenjumlahan
   • Penjumlahan pada pecahan biasa
     cara : penyebutnya disamakan dulu baru dijumlah
     contoh1 :
     contoh2 :
     
     apabila penyebutnya tidak sama cari KPK dari penyebutnya itu. KPK dari 3 dan 4 adalah 12 ( cara mencari KPK lihat di Bab FPB dan KPK)
     Sehingga perhitungannya menjadi :
     
     Ada cara lain dengan tidak menggunakan KPK yaitu dengan mengalikan penyebutnya dapat dirumuskan sbb:
     
     contoh :
     
   • Penjumlahan pada pecahan campuran
     Apabila penyebutnya sudah sama, penjumlahan bisa langsung dilakukan
     Contoh1 : 
     
     Contoh2 :
     
   • Penjumlahan pada Pecahan Desimal
     Dengan cara bersusun pendek, tanda koma lurus ke bawah
     Contoh :
     
   Pengurangan
   Sama dengan penjumlahan, pengurangan juga terdiri dari :
   • Pengurangan pada Pecahan Biasa
     penyebutnya disamakan dulu baru dijumlah
     Contoh1 :
     
     Contoh2 :
     
     apabila penyebutnya tidak sama cari KPK dari penyebutnya itu. KPK dari 4 dan 5 adalah 20 ( cara mencari KPK lihat di Bab FPB dan KPK) sehingga perhitungannya menjadi:
     
     Ada cara lain dengan tidak menggunakan KPK yaitu dengan mengalikan penyebutnya dapat dirumuskan sbb:
      
   • Pengurangan pada Pecahan Campuran
     contoh :
      
   • Pengurangan pada Pecahan Desimal
     Dengan cara bersusun pendek, tanda koma lurus ke bawah
     Contoh :
     
   Perkalian
   • Perkalian pada pecahan biasa
     dilakukan dengan mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut  dengan penyebut.
     
     Contoh :
     
     Apabila bialangan pecahan dikalikan dengan bilangan bulat, maka pembilangan pecahan dikalikan dengan bulangan bulat tersebut. 
     contoh: 
     
   • Perkalian pada pecahan campuran
     Pecahan campuran harus diubah dulu ke dalam pecahan biasa baru dilakukan pengalian
      
   • Perkalian pada Pecahan desimal
     perkalian dilakukan dengan cara bersusun pendek, awalnya tanda koma diabaikan, tetapi pada hasil perkaliannya diberi tanda koma sesuai denganjumlah tanda koma.
     Contoh : 
     
     
   Pembagian
   • Pembagian pada Pecahan Biasa
     Apabila pecahan biasa dibagi dengan pecahan biasa, maka hasilnya adalah perkalian pecahan biasa yang dibagi dengan kebalikan dari pecahan pembagi
     
     Contoh :
     
     Apabila pecahan biasa dibagi dengan bilangan asli, maka
     
     Apabila bilangan asli dibagi dengan pecahan biasa: 
     
   • Pembagian pada Pecahan Campuran
     Mengubah pecahan campuran ke pecahan biasa dulu
     Contoh :
      
   • Pembagian pada Pecahan Desimal
     Dilakukan dengan cara bersusun pendek
     Contoh :